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已知直角三角形ABC的周长为4+2根号2,求此三角形面积的最大值

来源:学生作业帮 编辑:妖妖作文辅导作业帮 分类:数学作业 时间:2021/09/17 17:38:04
已知直角三角形ABC的周长为4+2根号2,求此三角形面积的最大值
设三角形的三边为a,b,c,其中c为斜边,周长为L
所以有L=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2)
因为a+b≥2√(ab),√(a^2+b^2)≥√(2ab)
所以L≥2√(ab)+√(2ab)
把S=ab/2代入可求得
S≤L^2/[4(3+2√2)]
即周长为定值L的直角三角形的面积最大值是L^2/[4(3+2*√2)]
当L=4+2√2时
S的最大值=(4+2√2)^2*L/[4(3+2*√2)]=2
此时,a=b=2,三角形ABC是一个等腰直角三角形
一般地,有下面的一般性结论:“周长一定的直角三角形中,当它为等腰直角三角形时面积最大”
江苏吴云超解答 供参考!